以下证明思路来自$MashiroSky$
首先可以发现,只有一堆石子时先手必胜。
然后,若有两堆数目相同的石子,无论先手做什么,后手在另一堆完成同样的操作,就可以保证胜利。因此后手必胜。
这个结论可以推广到所有偶数堆且两两相等的情况。
而其他情况,都可以通过一步操作变成上面所述的状态。
对于奇数堆,我们需要证明可以用某一堆石子补齐剩余的堆,使它们成对。在这里我们选择最大堆。
将所有石子堆从小到大排序,再与相邻堆两两组队,画出条形统计图,可以发现它们的差值的投影在y轴上组成了不连续的线段,且不会超出$[minheight,maxheight]$。因此一定可以补齐,剩下的扔掉即可。
对于偶数堆,可将最多的一堆拿成和最少的一堆一样多,再与其他堆补齐。
综上所述,当且仅当局面为偶数堆两两相等的石子时,先手必败。
就这样啦QWQ